Hidrostática

(* Preparado por  C.A. Bertulani para o projeto de Ensino de Física a Distância)

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O que é um fluido?

Densidade de massa

densidade de massa:    r = m / V   (no MKS, as unidades são kg/m³)           [1.1]

No nível microscópico, a densidade de um objeto depende da soma dos pesos dos átomos e moléculas que constituem o objeto, e quanto espaço existe entre eles. Numa escala maior, a densidade depende se o objeto é sólido, poroso, ou alguma coisa intermediária.

Em geral, líquidos e sólidos possuem densidades similares, que são da ordem de 1000 kg / m³. A água a  4° C possui uma densidade exatamente igual a esse valor. Muitos materiais densos, como chumbo e ouro, possuem densidades que são  10 a 20 vezes maiores que esse valor. Os gases, por outro lado, possuem densidades em torno de  1 kg / m³, ou seja, cerca de  1/1000 àquela da água. Veja as densidades de várias substâncias  na tabela de propriedades dos fluidos.

As densidades são frequentemente dadas em termos da densidade específica. A densidade específica de um objeto ou material é a razão de sua densidade com a densidade da água a  4° C (esta temperatura é usada porque esta é a temperatura em que a água é mais densa). O ouro tem densidade específica de 19.3, o alumínio 2.7, e o mercúrio 13.6. Note que estes valores são referentes aos padrões de  temperatura e pressão; objetos mudam de tamanho, e portanto de densidade, em resposta a uma mudança de temperatura ou pressão.

Pressão

Pressão : P = F / A     (A força é aplicada perpendicularmente à área A)           [1.2]

A unidade de pressão, é o pascal, Pa. A pressão é frequentemente medida em outras unidades (atmosferas, libras por polegada quadrada, milibars, etc.). Mas o pascal é a unidade apropriada no sistema MKS (metro-quilograma-segundo).

Quando falamos em presão atmosférica, estamos insinuando a pressão exercida pelo peso de ar que paira sobre nós. O ar na atmosfera alcança uma altura enorme. Logo, mesmo que a sua densidade seja baixa, ele ainda exerce uma grande pressão:
 

Pressão atmosférica no nível do mar:    1,013 x 10⁵  Pa           [1.3]

Ou seja, a atmosfera exerce uma força de cerca de 1,0 x 10⁵ N em cada metro quadrado na superfície da terra! Isto é um valor muito grande, mas não é notado porque existe geralmente ar tanto dentro quanto fora dos objetos, de modo que as forças exercidas pela atmosfera em cada lado do objeto são contrabalançadas. Sómente quando existem diferenças de pressão em ambos os lados é que a pressão atmosférica se torna importante. Um bom exemplo é quando se bebe utilizando um canudo: a pressão é reduzida no alto do canudo, e a atmosfera empurra o líquido através do canudo até a boca.

Pressão versus profundidade em um fluido estático

Logo, a pressão a uma mesma profundidade de um fluido deve ser constante ao longo do plano paralelo à superfície. Supondo que a constante da gravidade local, g, não varie apreciavelmente dentro do volume ocupado pelo fluido, a  pressão em qualquer ponto de um fluido estático depende apenas da pressão atmosférica no topo do fluido e da profundidade do ponto no fluido.   Se o ponto 2 estiver a uma distância vertical h abaixo do ponto 1, a pressão no ponto 2 será maior.

Para calcular a diferença de pressão entre os dois pontos basta imaginar um volume cilíndrico, cuja altura h seja ao longo da vertical à superfície com as bases contendo os pontos 1 e 2, respectivamente. A área das bases, A, pode ser qualquer: desde que elas estejam dentro do fluido. Como o volume cilíndrico é estático, a força na base de baixo deve ser igual à força na base de cima somada à forca peso devido ao volume de àgua dentro do cilindro. Ou seja, como a massa do fluido é dada por rAh, obtemos que

F₂ - F₁ =  (rAh)g

P₂ = P₁ + rgh           [1.4]

Note que o ponto 2 não precisa estar diretamente abaixo do ponto 1; basta que ele esteja a uma distância vertical h abaixo do ponto 1. Isto significa que qualquer ponto a uma mesma profundidade em um fluido estático possui a mesma pressão. A construção imaginária que fizemos acima, com o volume cilíndrico, pode ser repetida com vários outros cilindros, com diferentes bases e alturas, até chegarmos ao resultado [1.4], já que essa relação é linear.

Princípio de Pascal

Princípio de Pascal: A pressão aplicada a um fluido dentro de um recepiente fechado é transmitida, sem variação, a todas as partes do fluido, bem como às paredes do recepiente.

A explicação para o princípio de Pascal é simples. Caso houvesse uma diferença de pressão, haveriam forças resultantes no fluido, e como já discutimos acima, o fluido não estaria em repouso.

Em um elevador hidráulico uma pequena força aplicada a uma pequena área de um pistão é transformada em uma grande força aplicada em uma grande área de outro pistão (veja figura abaixo). Se um carro está sobre um grande pistão, ele pode ser levantado aplicando-se uma força F₁ relativamente pequena, de modo que a razão entre a força peso do carro (F₂) e a força aplicada (F₁) seja igual à razão entre as áreas dos pistões.

P₁ = P₂ ,          logo F₁/A₁ = F₂/A₂ ,         e   F₁/F₂ = A₁/A₂           [1.5]

Embora a força aplicada  (F₁) seja bem menor que a força peso  (F₂), o trabalho realizado é o mesmo. Trabalho é força vezes distância. Logo, se a força no pistão maior (peso) for 10 vezes maior do que a força no pistão menor (aplicada), a distância que ela percorre será 10 vezes menor. Isto se deve à conservação de volume:

V₁ = V₂,      logo x₁ . A₁ = x₂ . A₂,        ou seja     x₁/x₂ = A₂/A₁ = F₂/F_{1 .}               [1.6]
 

Medidores de pressão

Um barômetro típico de mercúrio é um manômetro de tubo fechado. A parte fechada é próxima a pressão zero, enquanto que o outro extremo é aberto à atmosfera, ou é conectada aonde se quer medir uma pressão. Como existe uma diferença de pressão entre os dois extremos do tubo, uma coluna de fluido pode ser mantida no tubo. Da fórmula [1.4]  temos que a altura da coluna é proporcional à diferença de pressão. Se a pressão no extremo fechado for zero, então a altura da coluna é diretamente proportional à pressão no outro extremo.
 
 

Manômetro de tubo fechado:      P =  rgh           [1.7]

Em um manômetro de tubo fechado, um extremo do tubo é aberto para a atmosfera, e está portanto à pressão atmosférica. O outro extremo está sob a pressão que deve ser medida. Novamente, se existe uma diferença de pressão entre os dois extremos do tubo, se formará uma coluna dentro do tubo cuja altura  (h) é proporcional à diferença de pressão.
 

Manômetro de tubo fechado:      P = P_atm + rgh           [1.8]

A pressão P é conhecida como pressão absoluta; a diferença de pressão entre a pressão absoluta P e a pressão atmosférica P_atm é conhecida como pressão de calibre. Muitos medidores de pressão só informam a pressão de calibre.

Leia: O que é a pressão arterial?

Princípio de Arquimedes: Eureca!

Princípio de Arquimedes : Um objeto que está parcialmente, ou completamente, submerso em um fluido, sofrerá uma força de empuxo igual ao peso do fluido que objeto desloca.

        F_E = W_fluido =  r_fluido . V_deslocado . g           [1.9]

A força de empuxo, F_E , aplicada pelo fluido sobre um objeto é dirigida para cima. A força deve-se à diferença de pressão exercida na parte de baixo e na parte de cima do objeto. Para um  objeto flutuante, a parte que fica acima da superfície está sob a pressão atmosférica, enquanto que a parte que está  abaixo da superfície está sob uma pressão maior porque ela está em contato com uma certa  profundidade do fluido, e a pressão aumenta com a profundidade. Para um objeto completamente submerso, a parte de cima do objeto não está sob a pressão atmosférica, mas a parte de baixo ainda está sob uma pressão maior porque está mais fundo no fluido. Em ambos os casos a diferença na pressão resulta em uma força resultante para cima (força de empuxo) sobre o objeto. Esta força tem que ser igual ao peso da massa de água  (r_{fluido .} V_deslocado) deslocada, já que se o objeto não ocupasse aquele espaço esta seria a força aplicada ao fluido dentro daquele volume (V_deslocado) a fim de que o fluido estivesse em estado de equilíbrio.

Exemplo

(a) Qual é a força de empuxo?
(b) Qual é o volume de água deslocado pela bola?
(c) Qual é a densidade média da bola de futebol?

(a) Para encontrar a força de empuxo, desenhe um diagrama de forças simples. A bola flutua na água, logo não existe força resultante: o peso é contrabalançado pela força de empuxo. Logo,

    F_E = mg =  0,5 kg x 9,8 m/s² = 4,9 N

(b) Pelo pricípio de Arquimedes, a força de empuxo é igual ao peso do fluido deslocado, W_fluido . O peso é massa vezes g, e a massa é a densidade vezes o volume. Logo,

    F_E = W_fluido =  r_fluido  . V_deslocado  . g

e o volume descolado é simplesmente

    V_deslocado = F_E / (r_fluido . g) = 4,9 / (1000 x 9,8) = 5,58 x 10^-3 m³

(c) Para encontrar a densidade da bola precisamos determinar o seu volume. Este é dado por

    V_bola = 4p r³/3= 5,58 x 10^-3 m³

A densidade é portanto a massa dividida pelo volume:

    r_bola = 0,5/(5,58 x 10^-3) =89,6 kg/m³

Uma outra maneira de se encontrar a densidade da bola é usar o volume do fluido deslocado. Para um objeto flutuante, o peso do objeto é igual à força de empuxo, que é por sua vez igual ao peso do fluido deslocado. Cancelando os fatores de g, obtemos:

    para um objeto flutuante: r . V = r_fluido . V_deslocado

Logo, a densidade é:

      r   = r_fluido . V_deslocado / V = 1000 x 5,0 x 10^-4 /(5,58 x 10^-3) = 89,6 kg/m³

A bola de futebol é muito menos densa do que a água porque ela é cheia de ar. Um objeto (ou um outro fluido) irá flutuar se sua densidade for menor do que a do fluido; se sua densidade for maior do que a do fluido, ela afundará.