Métodos de Monte Carlo 
Aplicação ao estudo de sistemas de muitas partículas em equilíbrio


Estas notas descrevem, suscintamente, um método para se estudar sistemas com muitos graus de liberdade, tais como sistemas formados por um grande número de partículas, por exemplo. Para uma descrição mais detalhada, veja o livro do Harvey Gould e Jan Tobochnick, capítulo 16.

Propriedades macroscópicas
Consideremos um sistema de N partículas confinadas a um Volume V. O sistema está isolado do meio externo. Não estaremos interessados em estudar os detalhes deste sistema, isto é, o comportamento de cada partícula individualmente (estado microscópico). Nosso principal interesse consiste em descrever as propriedades globais (macroscópicas) deste sistema. A razão pela qual esta esolha é feita se deve ao fato de que, se N é muito grande, torna-se bastante difícil compreender as propriedades do sistema em questão analizando-se as características do movimento de cada partícula. Na realidade, experimentalmente não somos capazes de obter informações tão detalhadas assim, ao lidarmos com sistemas muito grandes (macroscópicos) nos quais N é absurdamene grande. De fato para sistemas macroscópicos, não seriamos capazes de fornecer uma descrição tão detalhada nem teoricamente. Deste modo, apenas algumas grandezas macroscópicas são medidas experimentalmente.
O Ensenble Microcanônico
Como o sistema considerado está isolado do meio externo, ele tenderá a um estado de equilíbrio correspondente a energia total E. Consideremos, então, um número muito grande de cópias deste sistema. Este conjunto de cópias é chamado "ensemble". Cada cópia pode diferir macroscopicamente uma da outra apenas pelo valor da energia total E. Em outras palavras, todos estão confinados a um volume V e possuem o mesmo número de partículas N. Devido ao grande número de graus de liberdade que este sistema possui, existem diversas configurações com a mesma energia total E. Isto está exemplificado na figura abaixo onde mostramos as 6 configurações possíveis para um sistema extremamente simples no qual suas 3 partículas podem possuir apenas velocidade -U0 , U0 e 2U0 .
Tendo em vista o fato de que não temos nenhuma razão para preferir uma determinada configuração microscópica à outra, desde que todas correspondam a mesma energia total, postulamos que todos os estados com uma mesma energia são igualmente prováveis. Matematicamente, se nX representa o número de estados microscópicos do sistema, consistentes com as propriedades macroscópicas em questão, a probabilidade de que o sistema seja encontrado numa certa configuração microscópica é:
Dizemos que um estado é acessível se ele é consistente com as propriedades macroscópicas consideradas. Deste modo, o valor médio de um observável físico é dado por:
Embora esta média possa parecer artificial, ela é compatível com medidas experimentais. Neste último caso, a medida sobre o sistema é realizada durante um intervalo de tempo grande o suficiente (na escala microscópica) para que o sistema passe por um número apreciável de estados equivalentes.
O conjunto de cópias do sistema com as propriedades mencionadas nesta seção, isto é, com a mesma energia total E, além de N e V, é denominado ensemble microcanônico.
O Método do "Demon"
A simulação numérica do ensemble descrito acima é, a primeira vista, extremamente simples. De fato, basta sortearmos N partículas num volume V e guardarmos apenas os eventos nos quais a energia total do sistema corresponde a E. Entretanto, uma rápida reflexão nos mostra que este método é extremamente ineficiente e, até mesmo, inaplicável para sistemas com muitas partículas. De fato, a fração de eventos aceitos seria, em geral, extremamente pequena comparada ao total de eventos gerados. Afim de ilustrarmos este ponto, consideremos um sistema de (apenas!) 4 partículas que, para simplificar, podem se mover para a direita ou para a esquerda com velocidade U. Teríamos no total, 16 configurações diferentes para o sistema, ou 16 estados acessíveis. Se estivermos interessados apenas nos estados nos quais 3 partículas se movem para a direita e apenas uma se move para a esquerda, apenas 1/4 dos estados possíveis satisfariam estas condições. Assim, se gerarmos todas as configurações possíveis com igual probabilidade, rejeitariamos 3/4 dos eventos. A situação se torna ainda pior quanto mais complexo for o sistema.
Por este motivo, o método do "Demon" (M. Creutz Phys. Rev. Lett. 50, 1411 (1983) e G. Bahnot e M. Creutz Nucl. Phys. B 235, 417 (1984)) é extremamente últil na simulação destes sistemas. A idéia central deste método consiste em fazer com que o "Deomon" troque energia (ceda ou receba) com o sistema. Se a troca vai no sentido de diminuir a energia das partículas, o Demon recebe esta energia e esta troca é permitida. Por outro lado, quando o Demon deve ceder energia ao sistema, isto só é permitido se a energia do Demon, após a troca, for maior ou igual a zero. Como o Demon é um grau de liberdade do sistema, o ensemble é microcanônico pois a energia do sistema não flutua. Em outras palavras, o sistema considerado é o conjunto de partículas mais o Demon e não apenas o conjunto de partículas. O fato de termos um sistema diferente do original não introduz conseqüências trágicas uma vez que o Demon é apenas um grau de liberdade entre o imenso número de graus de liberdade que o sistema original possui. Assim, o algorítimo para implementação deste método é o seguinte:
 
i) Uma partícula do sistema é sorteada ao acaso e novos valores são atribuidos aleatoriamente às suas coordenadas. 
ii) A variação da energia do sistema de N partículas é calculada, isto é, a energia final menos a inicial.
iii) (a) Se esta variação for negativa, aceitamos a nova configuração. A energia subtraida do sistema de N partículas é adicionada à energia do Demon.
(b) Se esta variação for positiva, subtraimos esta variação da energia do Demon. Se sua energia final for maior ou igual a zero, a nova configuração é aceita. Do contrário, ela é recusada e o sistema e o Demon permanecem na configuração antiga. 
iv) A configuração obtida no item (iii) (mesmo que o caso (b) ocorra), é utilizada como nova configuração. 
Este procedimento -- isto é os passos de (i) a (iv) -- é repetido um grande número de vezes até que tenhamos gerados um número significativo de estados microscópicos diferentes.
Afim de ilustrar o método, consideremos um conjunto de 1000 partículas que não interagem entre si, ou seja, um gás ideal. A energia total do sistema dividida pelo número de partículas é 10 MeV. A energia inicial do Demon é zero. A figura abaixo mostra a energia média do Demon em função do número de eventos gerados.
Dois pontos importantes devem ser observados:
1)A energia média do Demon tende ao dobro do valor da energia média por partícula.
2)É necessário gerar um grande número de eventos para que a energia do Demon atinja um valor de "equilíbrio". Isto se deve ao fato de que uma dada configuração do sistema está fortemente corelacionada à sua configuração prévia, uma vez que a configuração de uma única partícula muda em cada evento. Assim, um grande número de eventos é necessário para que a "memória" sobre a configuração inicial seja apagada. Para que os resultados não sejam fortemente influenciados pelas condições iniciais do sistema, é necessário que um grande número de eventos seja gerado antes de calcularmos as grandezas que nos interessam. Este procedimento se chama "termalização" do sistema. É muito importante que esperemos que o sistema termalize antes de começarmos a calcular as quantidades de interesse. De fato, a importância de um dado estado na média feita no cálculo de um observável A (veja expressão acima) deve ser dada automatica e corretamente pelo método. Por outro lado, as condições iniciais são escolhidas por nós de forma arbitrária. Em particular, no exemplo em questão, as velocidades iniciais das partículas são todas iguais. Tal configuração deve ser extremamente improvável e é óbvio que sua influência deve ser eliminada do cálculo das grandezas relevantes ao problema.
O ensemble canônico
Na grande maioria das vezes em que desejamos estudar um sistema no laboratório, o sistema não se encontra isolado. O "contato" do sistema com o equipamento do laboratório faz com que a energia do sistema flutue devido à troca de calor entre o sistema e o equipamento. Tendo em vista que a massa do sistema é em geral muito menor do que a massa do equipamento, podemos considerar este último como um reservatório térmico. Um banho (ou reservatório) térmico é um sistema grande o suficiente para que suas propriedades termodinâmicas não variem quando este cede ou recebe energia de um sistema em contato com ele. Deste modo, se o reservatório térmico está em equilíbrio a uma temperatura T, após algum tempo, o sistema entrará em equilíbrio térmico e também estará a esta temperatura. Neste caso, a energia do sistema flutuará, isto é, ela não será mais bem definida como era no caso do ensemble microcanônico. Um ensemble a uma temperatura fixa T, além de N e V constantes, é chamado ensemble canônico. Deste modo, o método do Demon não será mais tão útil para se estudar este sistema. Porém, se encararmos o sistema considerado anteriormente de uma outra maneira, podemos inferir sobre propriedades importantes do ensemble canônico. De fato, no caso do ensemble microcanônico o método do Demon foi aplicado ao estudo do conjunto de partículas considerando-se o Demon como um grau de liberdade do sistema. Em outras palavras, o sistema era composto de N partículas mais o Demon. No caso em questão, podemos pensar que o Demon representa o sistema que se deseja estudar em laboratório e o conjunto de N partículas é o banho térmico. Isto está representado esquematicamente na figura abaixo.
Como a energia do Demon é extremamente pequena face à energia do conjunto de partículas, desde que N seja suficientemente grande, este conjunto de partículas constitui uma boa aproximação para o banho térmico. Deste modo, podemos utilizar o mesmo método descrito acima para estudar o ensemble canônico.
Uma propriedade importante do ensemble canônico que podemos obter utilizando este método é a probabilidade do sistema em contato com o banho térmico, à temperatura T, possuir uma energia E. A figura abaixo mostra o número de eventos para os quais o sistema (Demon) possui energia E a uma temperatura T = 20 MeV.
Tendo em vista que o gráfico foi feito em escala logaritimica, fica claro que a probabilidade de observarmos o sistema com energia E cai exponencialmente com o aumento da energia. É fácil verificar, a partir dos resultados mostrados na figura, que esta probabilidade é dada por:
onde Z é uma constante de normalização (a integral de P(E) de zero a infinito é 1), chamada função partição. Embora tenhamos verificado estes resultados para apenas uma temperatura, o mesmo pode ser feito para outros valores de T. Tendo obtido P(E), o valor médio de um observável físico A(E) é obtido por meio da relação:
Se o sistema possuir níveis de energia discretos, é fácil discretizar a expressão acima:
onde Z é dado por:
e M representa o número de estados acessíveis. Em simulações Monte Carlo este número corresponde ao número de estados gerados em cada evento. Em geral, este número é significativamente inferior ao número de estados acessíveis. O cálculo Monte Carlo será tanto melhor quanto maior for o número de eventos gerados na simulação, de modo a aproximarmos o melhor possível a situação real.
A versão fortran 77 do programa utilizado para gerar estes resultados está disponível para os alunos do curso:
programa fortran
arquivo dat (entrada de dados)
arquivo include (entrada de dados)

Setembro 1997
Sergio R. Souza