O Modelo de Ising


As propriedades magnéticas dos materiais foram intensivamente estudadas por um grande número de pesquisadores antes mesmo de que uma teoria adequada tivesse sido desenvolvida. Estas propriedades foram bastante bem compreendidas com base na mecânica quântica, desenvolvida no começo deste século. Nos dias de hoje, inúmeras aplicações baseadas nas propriedades magnéticas da matéria são encontradas em nosso dia a dia e até mesmo em medicina.
Entre estas propriedades destacamos:
O Ferromagnetismo é caracterizado por uma magnetização espontânea do material a temperaturas abaixo de uma certa temperatura crítica. Isto é observado mesmo na ausência de um campo magnético aplicado ao material em questão. Esta situação sugere que os spins dos átomos (ou moléculas) que constituem o material tenham uma forte tendência a se alinhar uns aos outros, dando origem a um momento magnético espontâneo. A situação está ilustrada esquemáticamente na figura 1 abaixo, no caso de uma pequena rede bi-dimensional.

As setas na figura representam o spin do átomo (molécula).
Esta orientação espontânea tende a desaparecer gradualmente a medida que o sistema é aquecido. Neste caso, os spins tendem a um estado de desordem. A temperatura crítica Tc para a qual a magnetização espontânea desaparece, isto é, ocorre a transição entre "ordem" e "desordem", é chamada Temperatura de Curie.
No Anti-Ferromagnetismo, há uma tendência natural dos átomos a alinharem seus spins anti-paralelamente, como ilustrado esquematicamente na figura abaixo. Neste caso, o material não apresenta magnetização espontânea. A tendência a este alinhamento tende a desaparecer acima de uma certa temperatura crítica, de modo análogo ao que foi mencionado no caso do Ferromagnetismo.
Diamagnetismo e Paramagnetismo: O paramagnetismo é uma propriedade na qual a magnetização da substância é paralela a um campo magnético externo aplicado a ela. O oposto ocorre no Diamagnetismo.
Para uma discussão mais completa, porém a nível básico, veja:
"Fundamentos da Física", D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, volume 3, capítulo 34.
O Modelo de Ising
Como mencionamos acima, a explicação teórica detalhada destas e outras propriedades magnéticas da matéria necessitam um tratamento baseado na mecânica quântica. Isto está longe do objetivo deste curso. Entretanto, podemos estudar e aprender muito sobre as caracteristicas destes fenômenos utilizando um modelo bastante simples conhecido Modelo de Ising. A idéia central deste modelo é bastante simples. Consideremos uma rede bi-dimensional, onde existe um átomo em cada ponto da malha, como exemplificado na figura acima, por exemplo. No contexto deste modelo, a energia total do sistema pode ser escrita da seguinte forma:
Nesta equação, si é igual a +1 ou -1, dependendo se o spin do átomo "aponta" para cima ou para baixo. A constante J representa a constante de acoplamento entre os spins e H um eventual campo magnético externo. No somatório duplo no primeiro termo da equação, devemos contabilizar apenas as contribuições associadas à interação entre um dado átomo e seus vizinhos imediatos. Mais precisamente, um átomo na posição (i,j) da rede, interaje apenas com os átomos nas posições (i + 1, j), (i - 1, j), (i, j + 1) e (i, j - 1).
O papel desempenhado pelos termos que entram na equação acima pode ser facilmente compreendido. O primeiro deles faz com que a energia do sistema seja mínima (máxima) quando os spins dos átomos vizinhos estiverem alinhados paralelamenete (antiparalelamente) no caso em que J é positivo. Em outras palavras, J positivo favorece o ferromagnetismo. Para descrever um material Anti-Ferromagnético, devemos utilizar J negativo. A constante H, que aparece no segundo termo, é utilizada para descrever os fenômenos de Diamagnetismo e Paramagnetismo. No primeiro caso H < 0, enquanto devmos utilizar H > 0 no segundo caso.
As condições de contorno são um aspecto importante do modelo. Como desejamos simular um sistema grande (macroscópico), deveríamos, em princípio, trabalhar com um número enorme de partículas. Porem, isto seria infactível do ponto de vista numérico. Deste modo, precisamos de uma maneira de eliminar (ou ao menos minimizar) efeitos espúrios associados às bordas da rede, devido ao seu pequeno tamanho em comparação com um sistema real. Um método bastante usado para simular um sistema infinito consiste em utilizar um sistema com condições de contorno periódicas. Mais precisamente, supomos que a configuração do sistema se repete periodicamente no espaco. Então, "colocamos uma cópia" do sistema adjacente a cada um dos seus lados, como ilustrado na figura abaixo.
Nesta figura, os átomos em vermelho representam a cópia que deve ser colocada ao lado direito do sistema. As demais cópias, que deveriam ser colocadas nos outros três lados, não são apresentadas por razões de espaço. Assim, os átomos da froteira do lado direito (em azul), interagem com os átomos da fronteira do lado esquerdo da cópia (em vermelho). É importante insistir no fato de que um procedimento similar deve ser utilizado para cada lado da rede.
Implementação numérica
Afim de estudar as propriedades magnéticas de um material em contato com um banho térmico a uma temperatura T, podemos implementar o modelo de Ising utilizando o Método de Metropolis. De fato, como discutimos na seção "O Método do Demon e os ensembles", o valor médio de um observável A é dado por:
onde a função partição é:
A expressão para o cálculo do valor médio de A corresponde a uma discretização da integral para a qual o método de Metropolis foi desenvolvido. No caso em questão, os graus de liberdade do sistema correspondem aos dois valores possíveis que os spins dos átomos podem possuir. Deste modo, o método de metrópolis pode ser implementado da seguinte forma:
 
i) Para se obter a configuração do sistema no passo n + 1, um átomo da rede é escolhido ao acaso e seu spin é invertido. 
ii) A energia do sistema Et, associada a esta nova configuração, é então calculada. 
iii) Calcula-se a variação da energia do sistema Et-En, onde En é a energia do sistema no n-ésimo passo. 
(a)Se a energia do sistema diminui, esta nova configuração é aceita incondicionalmente. 
(b)Se a energia do sistema aumenta, a nova configuração é aceita com probabilidade r = exp(-(Et-En)/T). 
iv) A configuração do sistema no passo n + 1 corresponderá àquela obtida com a mudança do spin do átomo escolhido ao acaso se a nova configuração for aceita segundo as regras descritas no item (iii). Caso ela seja rejeitada, a configuração do passo n + 1 será a mesma que o sistema possuia no passo n. 
Os passos (i) até (iv) são repetidos um grande número de vezes afim de se obter um resultado o mais próximo possível da expressão acima para o cálculo do valor médio do observável A em questão.
É importante lembrar que devemos realizar um cálculo inicial, cujos resultados serão descartados, apenas para "termalizar" o sistema como discutido em aula. Além disso, também é necessário "saltar" várias configurações afim de eliminarmos correlações inerentes ao método, como também discutimos em aula.

Outrubro 1997
Sergio R. Souza