Movimento Ondulatório

Pulsos de onda

Um pulso de onda é uma perturbação que se propaga através de um meio. Uma onda pode ser mecânica se ela se propaga em um meio material (como o som, ou a onda em uma corda), ou não (como a luz, que é uma onda eletromagnética, e que se propaga no vácuo).

Suponha que no tempo t = 0 o pulso seja descrito por uma função no espaço na forma
y = f(x)                 [10.1]
Se o pulso se propaga para a direita, sem se deformar, com velocidade constante v,  então após um tempo t a função que descreve o pulso será dada por (veja a figura abaixo)
y = f(x - vt)                 [10.2]
Assim, para sabermos se um pulso unidimensional se propaga como uma onda, basta determinarmos se a forma desse pulso depende no espaço e no tempo no modo
y(x,t) = f(x - vt)                (pulso de onda movimentando-se para a direita)                 [10.3]
Uma onda periódica é uma perturbação periódica que se move através de um meio. O meio em si não vai a canto nenhum. Os átomos individuais e as moléculas oscilam em torno das suas posições de equilíbrio, mas a posição média delas não se alteram. À medida que elas interagem com os vizinhos, elas transferem parte da sua energia para elas. Por sua vez, os átomos vizinhos transferem energia aos próximos vizinhos, em sequência. Desta maneira, a energia é transportada através do meio, sem haver transporte de qualquer matéria. Veja a animação abaixo, que descreve o meio por uma série de partículas ligadas por molas.

Se o pulso viajar para a esquerda, a velocidade muda de v para -v, e a forma do pulso de onda muda para

y(x,t) = f(x + vt)            (pulso de onda movimentando-se para a esquerda)                 [10.4]


Ondas harmônicas

Ondas periódicas são caracterizadas por uma frequência, um comprimento de onda, e pela sua velocidade. A frequência da onda,  f, é a frequência de oscilação dos átomos ou moléculas individuais. O período, T = 1 / f,  é o tempo que leva para um átomo ou molécula particular passar por um ciclo completo de movimento. O comprimento de onda é a distância, entre dois átomos, que oscilam em fase, ao longo da direção de propagação.

Uma forma comum para as ondas periódicas é uma função seno ou cosseno, também conhecidas como ondas harmônicas:

y(x,t) = ym sen[k(x + vt)] = ym sen[kx + kvt]                 [10.5]
onde ym  e k são constantes. ym  é a amplitude da onda, ou seja, o valor máximo que a "perturbação" pode ter. Esta "perturbação" pode ser por exemplo, o deslocamento vertical de uma onda se propagando em uma corda, ou seja, dos átomos e moléculas que compõe a corda a partir da posição de equilíbrio.  O valor de k está relacionado com o comprimento de onda, como veremos agora. Vamos verificar a forma da onda em um dado instante. Seja t = 0, então y = ym sen(kx) = ym sen(kx+kl) = ym sen(kx+2p), onde usamos que a onda se repete depois de um comprimento l (comprimento de onda) , e que a função seno se repete depois de uma variação de 2p Logo, temos que
k = 2p/l                 [10.6]
O produto kv também possui uma relação com o período, ou frequência, da onda. Definindo w = kv , temos que, para x = 0, y = - ym sen(wt) = - ym sen(wt+wT) = ym sen(wt+2p), onde usamos que a oscilação em um dado ponto se repete a cada período T.  Logo, temos que
w = 2p/T                 [10.7]


Combinado estas relações, temos que a velocidade da onda, v, pode ser expressa em termos dessas quantidades:

v = w / k = l/ T = l f                 [10.8]

Esta relação é válida para qualquer onda periódica.

Problema:
Suponha que uma onda de água aproxima-se de um pier com velocidade de  1,5 m/s  e um comprimento de onda de 2 m. Com que frequência a onda atinge o pier?

Solução:
f = v / l = (1.5 m/s) / (2m) = 0.75 /s = 0.75 Hz

Problema:
Uma onda em uma corda é mostrada abaixo. Qual é o seu comprimento de onda? Se a frequência for de  4 Hz, qual é a sua velocidade?

Solução:
O comprimento de onda  l é 3m. A velocidade é  v = l f = 3m 4/s = 12 m/s.

Ondas transversas e longitudinais

Se o deslocamento dos átomos ou moléculas for perpendicular à direção em que a onda está viajando, a onda é chamada de onda transversa.

Se o deslocamento for paralelo à direção do movimento da onda, ela é chamada de onda longitudinal ou de compressão.
Ondas trasnversas só podem ocorrer em sólido, enquanto que ondas longitudinais em sólidos, líquidos e gases. O movimento transverso requer que cada partícula arraste as partículas adjacentes às quais ela está fortemente ligada.  Em um fluido isto é impossível, já que as partículas adjacentes podem se deslocar facilmente pelas outras. O movimento longitudinal somente requer que cada partícula empurre os seus vizinhos, o que pode aconteceer também em líquidos ou gases. O fato de que ondas longitudinais originárias de um terremoto passam através do centro da terra, enquanto que as ondas tranversas não passam, é uma das razões de acreditarmos que a terra possui um núcleo líquido.

Interferência

Duas ou mais ondas viajam no mesmo meio independentemente e podem passar através da outra. Este é o chamado princípio da superposição. Matematicamente

y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t)             (princípio da superposição)                 [10.9]
Em regiões que elas podem se superpor sómente uma única perturbação. Observamos uma intereferência. Se duas ondas com amplitudes iguais se somam em fase, isto é, se os máximos se encontram, então observamos uma onda com amplitude igual à soma das amplitudes das ondas originais. Teremos uma interferência construtiva.
Se as duas ondas superpostas estiverem, no entanto, totalmente fora de fase, isto é, se os máximos se encontram com os mínimos, as duas ondas tendem a se cancelar. Teremos uma interferência destrutiva.
Para ondas harmônicas de mesma amplitude o princípio da superposição fica na forma
y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t) =  ym [sen(kx - wt + f) + sen(kx - wt )]                 [10.11]
Usando a relação
sen a + sen b = 2 sen [(a+b)/2] cos [(a-b)/2]                 [10.12]
temos que
y(x,t) =  [2ym cos(f/2)] sen(kx - wt + f/2)                 [10.13]
Logo, se a fase f = 0, a interferência é construtiva
enquanto que se a fase f = p, a interferência é destrutiva
Caso as amplitudes sejam diferentes a interferência é parcial.
Toda a discussão acima pode ser estendida para dimensões maiores. Um caso clássico é a interferência de duas ondas circulares em um tanque de água. Neste caso o padrão de interferência  resulta da superposição dos máximos e mínimos da onda em determinados pontos, como mostra a figura abaixo.

Ondas estacionárias e harmônicos

Se superpomos ondas iguais, mas com velocidades opostas, obtemos ondas estacionárias. Isto pode ser visto usando a equação   [10.12], que neste caso fica

y(x,t) = ym sen(kx + wt) + ym sen(kx - wt ) = [2ym sen(kx)] cos(wt)                 [10.14]
Vemos portanto, que esta relação não é da forma  [10.3] ou [10.4], e que poortanto não descreve uma onda que se propaga. Em cada ponto x, há uma vibração determinada pela frequência angular [10.7]. Os pontos em que sen(kx) se anulam são chamados de nós.  Estes pontos são obtidos quando kx = np, onde n = 0, 1, 2 ,... Logo, obtemos que eles acontecem para
x = n l / 2               (nós)                 [10.15]
enquanto que os anti-nós acontecem nas regiões intermediárias aos nós (nos máximos dos sen(kx)), ou seja, para
x = (n+1/2) l / 2               (anti-nós)                 [10.16]
Para cordas presas em dois pontos fixos (como as cordas de um violão), podemos induzir ondas estacionárias (vibrações) onde os pontos fixos serão necessariamente nós. Logo, temos que, se a corda possui comprimento l, então os comprimentos de ondas possíveis são obtidos da relação  [10.15], substituindo x por l:
l = 2l / n               (comprimentos de ondas dos harmônicos)                 [10.17]
onde n = 1, 2, 3, ... (note que o valor n = 0 não é físico nesse caso - seria uma onda com comprimento de onda infinito, ou seja, onda nenhuma). Estes são conhecidos como os comprimentos de ondas dos harmônicos da corda.

As vibrações da corda são transmitidas para as moléculas de ar e, devido à propagação da perturbação,  chegam aos nossos ouvidos na forma de som. A frequência  desses sons pode ser obtida da relação acima, resultando em

f = v / l = n v / 2l                 (frequências  dos harmônicos)                 [10.18]
Nas animações abaixo, obtida de "Multimedia Physics Studios", observamos os trê primeiros harmônicos em uma corda ("nodes" é a palavra inglesa para nós).


Reflexão e transmissão

Ondas podem refletir em obstáculos. Na figura abaixo vemos uma onda em uma corda incidindo sobre uma parede, onde possui uma extremidade presa. A corda na parte da onda que chega à parede exerce uma força para cima sobre a mesma. Pela terceira lei de Newton, a parede exerce uma força igual e para baixo sobre a corda, invertendo a amplitude da onda, e enviando para trás um pulso igual e invertido.

Se a corda não estiver presa à parede o pulso retorna a partir do extremo aberto, mas não há inversão do mesmo, pois não existe força exercida neste extremo. Veja a figura abaixo.
Quando a onda passa de um meio a outro, uma parte da mesma é refletida enquanto que outra parte é transmitida. Veja a figura abaixo. A onda refletida pode interferir com a onda incidente resultando numa forma de interferência  complicada e confusa.

Raios e frentes de onda

É comum adotarmos a notação "raio" para a direção em que a onda se propaga. Este conceito é mais útil em dimensões maiores: por exemplo, com ondas em um tanque de água. Como vemos na figura abaixo, os raios estão em orientações diferentes no espaço, dependendo da direção de observação da onda. Os máximos e mínimos de onda formam um lugar comum, chamados de frentes de onda.

Em algumas situações vários raios são perpendiculares à várias frentes de onda. Isto acontece com as ondas de água, por exemplo,  quando se está observando a onda a uma distância muito grande da sua origem (fonte). Uma onda em que todos os raios são perpendiculares às frentes de onda, são conhecidadas como ondas planas.
O conceito de raios e de frente de onda são muito importantes. Por exemplo, eles são úteis na descrição da geometria das reflexões de onda em superfícies, como vemos na figura abaixo.

Velocidade da onda em função das propriedades do meio

A velocidade da onda em um meio depende das suas propriedades. Vamos dar um exemplo. Suponha que tenhamos uma corda de massa por unidade de comprimento m, que esteja esticada por uma força de tensão t. Se uma onda se propaga na corda, um pequeno elemento da corda é mostrado na figura abaixo.

Este elemento, de comprimento Dl, na parte mais elevada da onda, está sujeito à tensão da corda nos dois sentidos de propagação da onda. Podemos desenhar um círculo de raio r, em que r é a amplitude da onda.  Este elemento da corda, considerado bem pequeno,  está num dos lados de um triângulo cujo ângulo oposto é dado por q. Instantaneamente, é como se este elemento de corda estivesse se movimentando em uma trajetória circular de raio r, com velocidade v; a velocidade da corda. Logo, é como ele estivesse sujeito à uma força centrípeta dada por F = Dm v2 / r = (Dm  l) v2 / r. Esta força resulta da componente das tensões no sentido para o centro do círculo. Logo, F = 2t sen (q/2) ~ tq, onde usamos o fato do ângulo q  ser muito menor que a unidade: logo, sen (q/2) ~ q/2. Como, q ~ Dl / r, temos que  F ~ t Dl / r. Igualando estes dois resultados, temos que
t Dl / r = (Dm  l) v2 / r                 [10.19]
Ou seja,
v = (t / m)1/2                 [10.20]
Obtemos então o resultado desejado; ou seja, a velocidade de uma onda na corda em função das propriedades da corda: sua tensão e sua densidade linear. Quanto menor (maior) a densidade linear ( a tensão) da corda, maior  será a velocidade da onda. Este resultado é válido para qualquer comprimento de onda, ou frequência da onda.

Análise de Fourier e dispersão

Nem sempre obtemos resultados assim. Frequentemente, ondas se propagam em meios materiais com velocidade diferentes para frequências diferentes. Isto é importante, pois leva ao fenômeno de dispersão. Para entender este fenômeno, vamos considerar ondas de forma qualquer. Por exemplo, vamos considerar um pulso de forma arbitrária em uma corda. Esse pulso pode ser descrito por uma função f(x) para um dado instante de tempo.

Pode-se mostrar que qualquer função uni-dimensional pode ser descrita por uma série de senos e de cossenos. Matematicamente, dizemos que as funções seno e cosseno formam uma base completa de funções. Logo, para qualquer f(x), temos que

                 [10.21]
onde an , bn , e kn são coeficientes que dependem da forma da função f(x). No momento não nos interessa como obtemos estes valores. O que nos interessa é que kn está associado a um comprimento de onda ln = 2p / kn. Logo, é como se o pulso pudesse ser descrito por uma soma de ondas harmônicas. A equação acima é conhecida como análise de Fourier do pulso de onda.

Um exemplo simples de análise de Fourier pode ser dada para  uma função na forma de uma função serra (veja a figura abaixo).

Pode-se mostrar que neste caso an = 0, e bn = 2 (-1)n+1 / n. Ou seja, a função acima pode ser descrita, até os termos de ondem n = k (nota: k aqui não é numero de onda, mas apenas um número inteiro), pela série
                 [10.22]
Dependendo onde paramos a série, ou seja, em qual número k paramos a série, a reprodução da função pela série [10.22], fica melhor e melhor. Vemos isso nas figuras abaixo para k = 4, 8, 16.


Se quisermos descrever uma onda que se propaga no tempo, temos que inserir o termo wt em cada seno, ou cosseno da expansão. E como w está relacionado com k por meio da velocidade, temos que a forma final da onda será
                 [10.23]
para uma onda que se propaga para a direita, com v = wn / kn.

A análise acima pode ser extendida para ondas em dimensões maiores, e para qualquer meio. O fenômeno de dispersão ocorre quando a onda penetra em uma região do material em que a velocidade da onda depende da frequência, ou  do comprimento de onda. Neste caso, como cada onda da soma em   [10.23]  possui um comprimento de onda distinto, e como o comprimento de onda vn = wn/ kn depende de n, cada componente de Fourier da soma  [10.23]  se propagará com velocidade diferente. O pulso se deforma, já que os argumentos dos senos e cossenos variam com o tempo de formas distintas para cada onda harmônica correspondente. Em outras palavras, quando as velocidades de cada onda harmônica é a mesma, a forma do pulso se mantém no tempo. Ele é a mesma função f(x) no tempo t = 0, porém deslocado de vt. Mas, quando as velocidades variam, algumas componentes viajam mais rápidamente, outras mais lentamente, carregando partes do pulso para frente e para trás do mesmo. Logo, o pulso se dispersa, se deforma.



Energia e potência carregada por uma onda

Uma onda é uma perturbaçãoque se propaga em um meio. Essa perturbação está associada a uma energia local. Por exemplo, em uma corda ela é a energia de oscilação vertical dos átomos e moléculas. Logo, devido à propagação, essa energia passa de um ponto a outro no espaço. A energia por unidade de tempo carregada por uma onda, ou potência, pode ser mias facilmente calculada no caso de ondas em cordas. Suponha que tomemos um elemento de corda com massa  Dm = Dm  l. Este elemento vibra para cima e para baixo com uma energia cinética dada por dK =Dm u2 / 2, onde u é a velocidade desse elemento na direção vertical. Ela pode ser calculada usando-se a uquação

u = dy/dt =  wym cos (kx + wt)                 [10.24]
de modo que
dK = (m dx / 2)  (wym)2  cos2 (kx + wt)                  [10.25]
Dividindo por dt, e usando  dx/dt = v, obtemos
dK/dt = (m v w2ym2 / 2)  cos2 (kx + wt)                 [10.26]
Este é o valor da energia de um dado elemento da corda. Para calcularmos a energia total carregada pela onda por unidade de tempo precisamos fazer uma média de todos os elementos de volume ao longo de um comprimento de onda, ou, equivalentemente, ao longo de um período da onda. Isto significa que precisamos tomar uma média da função cos2 (kx + wt) ao longo de um comprimento de onda, ou de um período, já que esta é a única parte de [10.26]  que depende da posição ou tempo. Usamos então a relação matemática
         (valor médio de cos2 )                 [10.27]
Logo, o valor médio da energia cinética carregada pela onda é dada por
< dK/dt >médio = m v w2ym2 / 4                  [10.28]
onde < >médio significa o mesmo que a barra, denotando valor médio.

A onda não carrega apenas energia cinética. Quando os átomos ou as moléculas se deslocam da posição de equilíbrio eles estão sob a atuação de forças restauradoras (a tensão, no caso da corda) que estão associadas à energias potenciais. Logo, a onda também carrega energia potencial. Pode-se mostrar que o valor médio da energia potencial é igual ao valor médio da energia cinética. Isto parece razoável, já que as duas energias se revezam, uma se transformando na outra, ao longo da propagação. Como a energia total é a soma das energias cinéticas e potencial, chegamos à conclusão de que a potência total carregada pela onda é dada por

P = 2 < dK/dt >médio = m v w2ym2 / 2                 [10.29]
Este resultado mostra que a energia carregada por uma onda é proporcional ao quadrado da frequência e ao quadrado da amplitude das oscilações. Multiplicando pela velocidade com que essa energia é carregada, obtemos a potência carregada pela onda, descrita pela equação  [10.29].



Direitos autorais: Carlos Bertulani (atualizada em 12/Novembro/99)