Oscilações

Suponha que um objeto é preso a uma mola que é esticada e comprimida. A mola exerce uma força sobre o objeto. Esta força é proporcional ao deslocamento da mola a partir de sua posição de equilíbrio e é no sentido oposto ao deslocamento

F = - k x            [9.1]
Esta forma para a força ''e chamada  Lei de Hooke. As molas reais obedecem esta lei para pequenos deslocamentos.

Suponha que a mola seja estendida por uma distância d, e seja liberada. O objeto preso à mola acelera com

a = - (k/m) x                [9.2]
 

Ele ganha velocidade à medida que se move para a posição de equilíbrio, já que a aceleração é na direção de sua velocidade.  Quando a mola está na posição de equilíbrio a aceleração é zero, mas o objeto possui energia cinética. Ele passa da posição de equilíbrio e começa a desacelerar, já que a aceleração é no sentido oposto ao sentido da velocidade.  Desprezando o atrito, ele parará quando a mola estiver comprimida por uma distância d  e então se acelerará de volta para a posição de equilíbrio. Ela novamente passa pela posição de equilíbrio e pára na posição inicial quando a mola está esticada de uma distância d. O movimento se repete. O objeto oscila de um lado para outro. Ele executa um movimento harmônico simples.

Vamos considerar apenas  movimentos em uma dimensão. A equação [9.2] deve ser resolvida para a posição em função do tempo, x(t). Notamos que a aceleração é a derivada temporal da velocidade, de modo que podemos escrever a = dv/dt, e como v = dx/dt, temos que a aceleração é a derivada segunda da posição: a = d2x/dt2. Logo, podemos escrever a equação [9.2] como

d2x/dt2 = - (k/m) x     [9.3]
Como x é função do tempo, temos que encontrar uma função cuja derivada da derivada seja proporcional à própria função. Conhecemos duas funções que satisfazem esse critério: a função seno e a função cosseno. Uma conbinação dessas duas funções também serve, e deve ser a forma mais geral da solução procurada. Por exemplo, x(t) = a cos(at) + b sen (at) se for derivada duas vezes dá d2x/dt2 = -  a2x (tente fazer esse cálculo). No nosso caso, a constante a = (k/m)1/2. Logo,
x(t) = a cos[(k/m)1/2t] + b sen [(k/m)1/2t]      [9.4]
é uma solução da equação [9.3]. Note que as constantes a e b devem depender das condições iniciais do problema. No caso do problema da mola explicada acima, no tempo incial, quando t = 0,  x(t =0) = d e v(t = 0) = 0. Da segunda condição, temos que b = 0, já que v(t) = a [- a sin(at) + b cos (at)] . A primeira condição implica que a = d . Logo, a solução do problema do objeto preso à  mola é dado por
          [9.5]

onde definimos a = 2p/T, de modo que

              [9.6]

A equação [9.5] nos diz que as condições de movimento se repetirão para valores de t = T, 2T, 3T ... Logo, T é conhecido como período do movimento. A amplitude da oscilação é dada por d. Este é o valor máximo do deslocamento a partir da posição de equilíbrio.
O período é independente da amplitude. Não importa quanto a mola seja esticada inicialmente, o movimento possuirá o mesmo período. A frequência f = 1/T do movimento dá o número completo de oscilações por unidade de tempo. Ela é medida em unidades de Hertz, (1Hz = 1/s). A frequência

          [9.7]
é a frequência natural de ressonância do sistema. Também podemos definir a frequência angular w que engloba o fator 2p da relação acima: w = 2pf .

A velocidade do objeto em função do tempo é dada por

 v = vmax sen(2pt/T ) = vmax sen(wt )       [9.8]
onde vmax = 2pd/T = 2pdf = wd.
Na figura abaixo a posição e velocidade são mostradas em função do tempo para um movimento oscilatório com período de  5s. A amplitude e a velocidade máxima possuem unidades arbitrárias. A posição e a velocidade estão fora de fase.  Como sen(x+ p/2) = cos(x), podemos escrever v = vmax cos(2pt/T + f ) = vmax cos(wt + f ) , onde  f = p/2 é a fase da velocidade. Logo, dizer que a velocidade e a posição estão fora de fase é o mesmo que dizer que  a diferença de fase entre elas é de p/2 . A velocidade é máxima quando o deslocamento é zero, e o deslocamento é máximo quando a velocidade é zero.

A energia do sistema é dada pela soma da energia cinética e a energia potencial do sistema. A energia cinética é

Ec = mv2/2              [9.9]
A energia potencial é, por definição, o negativo do trabalho realizado pela mola, ou seja, a variação da energia potencial é dada por
dU = - F dx,    ou     F = - dU/dx          [9.10]
Como F = - kx, temos que a solução da equação [9.10] é
U(x) = kx2/2          [9.11]
A definição da energia potencial é tal que a energia total do sistema seja constante, isto é,
Et = Ec + U = (m/2) d2x/dt2 + kx2/2 = constante                  [9.12]
Note que a derivada temporal da equação [9.12] é igual à equação [9.3] (faça a conta e constate). Logo, a equação [9.12] é uma consequência da equação [9.3]: ela pode ser obtida por uma integração da equação [9.3]. Como a energia total é constante, podemos calculá-la no ponto x de maior conveniência. Por exemplo, quando a mola está a uma distância d do suporte, ela está parada. Logo, a energia cinética é zero. Consequentemente, a energia total é proporcional ao quadrado da amplitude d:
Et = (1/2) k d2.                  [9.13]
A equação [9.12] mostra que existe uma mudança contínua entre energia cinética e potencial. Um objeto numa mola é um exemplo de um oscilador harmônico.

A maioria dos sistemas que possuem uma posição de equilíbrio, executam um movimento harmônico simples em torno desta posição quando eles são deslocados do equilíbrio, desde que os deslocamentos sejam pequenos. As forças de restituição obedecem à lei de Hooke. No entanto, para grandes acelerações os sistemas se tornam osciladores não-harmônicos, ou seja, as forças de retorno não mais são proporcionais aos deslocamentos. Neste caso, o período depende da amplitude. Um exemplo familiar é  pêndulo simples.

Para pequenos deslocamentos, a força restauradora é aproximadamente dada por F = -(mg/L) x. Esta é a lei de Hooke com k = mg/L ou k/m = g/L.

O período de um pêndulo simples é portanto dado por

.          [9.14]
Ela é independente da massa m do peso. Depende apenas da aceleração gravitacional g e do comprimento do fio. Medindo-se o comprimento e o perídodo de um pêndulo simples podemos determinar g.

Movimento harmônico simples versus movimento circular

Um outro tipo de movimento harmônico simples que nos permite uma melhor idéia dos parâmetros envolvidos é dado pelo movimento circular de uma bola comparado ao movimento harmônico linear de outra (recarrege o "browser" para ver a animação da figura abaixo).


Parte de cima: movimento circular uniforme (raio A, velocidade angular w).
Parte de baixo: movimento harmônico simples (amplitude A, frequência angularw).

Vemos que o movimento harmônico simples é uma projeção do movimento circular uniforme em torno de um eixo.

O ângulo de fase, wt, no movimento harmônico simples corresponde ao ângulo wt através do qual a bola se movimentou no movimento circular. Na figura acima o objeto começou na esquerda com tempo t = 0 s. A fase inicial é zero.


Movimento circular e oscilatório com uma fase inicial

Na figura acima, o movimento começou com a fase inicial f. No tempo t, a bola está no ângulo

Esta é também a fase total da bola oscilatória. Sua posição é descrita por Com uma fase inicial de f, o movimento não é diferente - a bola ainda oscila de um lado para outro. Com  f = 0, a bola começa em x = +A.

Com a fase inicial de f, a bola começa em

Depois que conhecemos a posição do oscilador para todos os tempos, podemos calcular a velocidade e a aceleração: Note que:
  1. A velocidade oscila entre  -Aw and +Aw.
  2. A aceleração oscila entre   -Aw2 e  +Aw2.
  3. A aceleração é proporcional à posição, mas oposta em direção:

Oscilador amortecido

O que acontece quando o oscilador é amortecido, ou seja quando há atrito entre o corpo preso à mola e o plano, ou quando se considera a força de atrito com o pêndulo e o ar ? Forças de atrito são geralmente proporcionais à velocidade. Logo, em vez da equação  [9.3] teremos
d2x/dt2 = - w2x - g dx/dt              [9.20]
onde b = mg é a constante de atrito (daqui em diante simplesmente chamaremos g de constante de atrito) .

Se não houvesse a força de restauração da mola, a equação acima ficaria,

d2x/dt2 =  - g dx/dt              [9.21]
cuja solução  é da forma x(t) = C e-gt , onde C é uma constante que depende da  posição e velocidade inicial. Ou seja, a massa pára com uma taxa de desaceleração exponencial. Sem a força de atrito o movimento é oscilatório, com frequência w, como vimos anteiromente. É fácil ver que no caso do movimento oscilatório amortecido, ele deve ter uma solução intermediária, onde a velocidade angular deve ser um pouco modificada pela oscilação.

A melhor maneira de resolver a euqção diferencial [9.3] é utilizando o conceito de números complexos, em particular da exponencial complexa. A fórmula abaixo para a exponencial complexa é conhecida como uma pérola da matemática.

eiq = cosq + i senq              [9.22]
onde i é o número imaginário. É fácil ver esta relação a partir de um gráfico no plano complexo. Neste plano a componente real do número complexo Z, com comprimento |Z| unitário, é dada pela projeção de Z na abcissa, cosq. A parte imaginária de Z é dada pela projeção na ordenada, senq .  O módulo de Z é dado por  cos2q + sen2q = 1 .

Para resolver a equação [9.20] supomos que a solução seja na forma

x(t) = A ei(lt+f)              [9.23]
A razão para isso é que a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial, o que faz com que equações do tipo [9.20] fiquem muito simples de resolver, como veremos. Mas, note que a solução tem que ser real, já que as distâncias medidas  são  reais. O truque está exatamente nesta questão. Usamos [9.23] para achar os valores de l que satisfazem a equação [9.22], substituimos as soluções possíveis de l em [9.23] e no final, tomamos a parte real de [9.23], que é o que nos interessa. Esse truque funciona, e é muito poderoso no cálculo diferencial. Vamos constatar isso agora.

A derivada de [9.23] é dx/dt =  ilA ei(lt+f). A segunda derivada é d2x/dt2 = -l2A ei(lt+f) (já que i2 = -1). Substituindo estes resultados  em [9.22] obtemos que

(- l2 + ilg + w2) A ei(lt+f) = 0              [9.24]
Como esta relação é válida para todo t, temos que o valor em parênteses tem que se anular identicamente:
- l2 + ilg + w2 = 0              [9.25]
Cujas soluções são
l = ig/2 +- (w2 - g2/4)1/2              [9.26]
Substituindo esse resultado na solução, e tomando a sua parte real, temos que a solução final da equação [9.22] é (não importa qual das soluções tomemos: a de sinal +, ou a de sinal - )
x(t) = A e-gt/2 cos (w't + f)              [9.27]
onde w' = (w2 - g2/4)1/2.
Dependendo se  g 2/4 for menor, igual, ou maior do que w2, podemos distinguir 3 casos:
O caso subamortecido: g 2/4 < w2 . Neste caso, a oscilação se repete durante vários ciclos e a amplitude das oscilações diminui com o tempo. A amplitude decrescente da oscilação é chamada de  envelope.
O caso de amortecimento crítico: g2/4 = w2Neste caso, não há oscilação completa, antes de a oscilação se completar a massa pára. Vemos isto na figura acima, onde a massa começa da posição de equilíbrio, alcança uma distância máxima, e volta, parando na posição de equilíbrio depois de um certo tempo.
O caso de amortecimento subcrítico ou sobreamortecido: g2/4 > w2. Neste caso, a massa nem alcança a posição de equilíbrio em um tempo finito. A distância diminui exponencialmente no tempo.

Oscilador forçado e ressonâncias

Um oscilador pode também ser forçado a oscilar. Por exemplo, aplicamos uma força periódica a uma criança em um balanço quando queremos que as oscilações continuem. A força mais fácil de se tratar matematicamente é uma força periódica na forma F = F0 cos(wt). Somando todas as forças do oscilador, incluindo a força de atrito e a força aplicada, a equação torna-se
d2x/dt2 + w2x + g dx/dt =  (F0 / m) cos(w't)              [9.28]
Como as oscilações devem ter a mesma frequência que a da força aplicada, tentaremos uma solução na forma
x(t) = A sen(w't) + B cos(w't)              [9.29]
Também poderíamos utilizar o método das exponenciais complexas, que introduzimos na seção anterior. Neste caso, usamos cos(w't) = (eiw't + e-iw't)/2, e a equação [9.23] para x(t). No final, os coeficientes da parte real e da parte imaginária  da equação são igualados a zero, como fizemos com a equação [9.24]. Porém, utilizando [9.29], obteremos o mesmo resultado. Calculando dx/dt e d2xdt2, obtemos que
[(-w'2 + w2)A - gwB] sen(w't) + [(-w'2 + w2)B + gwA - (F0 / m) ] cos(w't) = 0              [9.30]
Como este resultado é válido para qualquer tempo, os coeficientes da função seno e os da função cosseno devem se anular separadamente, ou seja,
(-w'2 + w2)A - gwB = 0              [9.31a]
(-w'2 + w2)B + gwA - (F0 / m)  = 0              [9.31b]
Resolvendo para A e B, encontramos que
A =  gw(F0 / m) / [( w2 - w'2 )2 + g2w2 ]              [9.32a]
B =  ( w2 - w'2 )(F0 / m)/ [(w2 - w'2 )2 + g2w2 ]              [9.32b]
Inserindo este resultado em [9.29] e usando a lei dos cossenos, encontramos finalmente que
x(t) = xmcos(w't + f)              [9.33]
onde
xm  = (F0 / m) /[( w2 - w'2 )2 + g2w2 ]1/2             [9.34a]
f =  arctg [gw/(w2 - w'2 )]              [9.34b]
Vemos portanto, que as amplitudes da oscilação, xm , chegam a um valor máximo quando w2 - w'2 = 0 , ou seja quando w'2= w2 . Esta é conhecida como frequência de ressonância.

Quando a frequência da força aplicada é igual à frequência natural do oscilador, a amplitude da oscilação é máxima. Isto é um fenômeno bem conhecido. Por exemplo, no caso da criança no balanço sabemos que a oscilação será máxima se aplicarmos uma força em ressonância com a freqência de oscilação natural do balanço. Ressonâncias são também responsáveis por vibrações indesejáveis em sistemas mecânicos, ruptura de estruturas como prédios e pontes sob a ação de ventos ou terremotos, etc. Toda vez que um oscilador sofre uma força periódica com a mesma freqência que sua  frequência natural, o fenômeno de ressonância aparecerá. Dizemos que a força está em fase com a oscilação.



Direitos autorais: Carlos Bertulani (atualizada em 26/Outubro/99)