bernoulli

Dinâmica dos Fluidos

Equação de continuidade

Considere uma caixa de água conectada a pedaços de tubos com diâmetros diversos, ao longo do caminho em que a água escoa. Suponha também que exista uma bomba de água no circuito. Um circuito muito simples é mostrado na figura abaixo

Fazendo a bomba de água funcionar por uns instantes irá acelerar a água e começar o escoamento. A bomba cria um gradiente de pressão. Se observarmos um dado volume de água em uma seção reta do tubo, a pressão no lado 1 desse volume será diferente da pressão no lado 2. Isto leva a uma força resultante no volume de água naquela seção, e ela irá se acelerar. Se a pressão fosse a mesma em ambos os lados, a força resultante seria nula, e o volume de água continuaria seu movimento com velocidade constante. Depois que a água estiver fluindo a uma certa velocidade, a bomba tem que realizar um trabalho muito menor. Ela sómente terá que trabalhar contra as forças de atrito.

A água em diferentes seções do circuito terá diferentes energias potenciais por unidade de volume (por exemplo, por cm³). Ela também deve ter energias cinéticas diferentes por unidade de volume. Nas seções mais estreitas ela deve fluir mais rápido do que nas seções mais largas, já que a mesma quantidade de água deve fluir através de cada seção transversal do tubo na mesma quantidade de tempo.

Na figura abaixo mostramos o fluxo de massa (ou vazão) que passa por uma seção transversal de um tubo. Ele é dado por Dm/ Dt, onde Dm é a quantidade de massa que passa pela seção transversal A, por unidade de tempo Dt.

[2.1]

A quantidade de volume de fluido que passa pela área A é, DV = A Dl . Mas, como Dl = vDt , temos que Dm = r DV = rAv Dt. Logo,

[2.2]

Mas, e se a área A muda de uma seção para a outra? A figura abaixo mostra os novos parâmetros entram em nosso cálculo.

Temos que no ponto 1 , Dm₁= r₁ A ₁ v₁Dt , e no no ponto 2, Dm₂= r₂ A ₂ v₂Dt . Não estamos criando nem destruindo massa. Logo, a massa Dm₁ que flui para uma região deve ser igual à massa Dm₂ que sai da região. Isto é, Dm₁= Dm_2
.Ou seja, r₁ A ₁v₁Dt = r₂ A ₂ v₂Dt , ou

r₁ A ₁v₁ = r₂ A ₂ v_{2
,
[2.3]}

r A v = constante . [2.4a]

No caso em que a densidade do fluido é constante, a equação de continuidade será dada por

A v = constante . [2.4b]

Equação de Bernoulli

A energia potencial da água muda enquanto ela se move. Enquanto que a água se move, a mudança na energia potencial é a mesma que aquela de um volume V que se movimentou da posição 1 para a posição 2. A energia potencial da água no resto do tubo é a mesma que a energia potencial da água antes do movimento. Logo, temos que

mudança na energia potencial = massa da água em V ´ g ´ mudança na altitude

= densidade ´ V ´ g ´ (h₂ – h₁) = r V g (h₂ – h₁).

A energia cinética da água também muda. Novamente, só precisamos achar a mudança na energia cinética em um pequeno volume V, como se a água na posição 1 fosse substituida pela água na posição 2 (veja a figura acima). A energia cinética da água no resto do tubo é a mesma que a energia cinética antes do movimento. Logo, temos que

mudança na energia potencial = ½ m v₂² – ½ m v₁² = ½ r V v₂² – ½ r V v₁².

Se a força sobre a água na posição 1 é diferente do que a força da água na posição 2, existe um trabalho sobre a água à medida que ela se move. A quantidade de trabalho é W = F₁ l₁ – F₂ l₂. Mas, força = pressão vezes área, de modo que W = p₁ A₁ l₁ – p₂ A₂ l₂ = p₁ V - p₂ V .

O trabalho deve ser igual à mudança na energia. Logo,

p₁ V - p₂ V = r V g (h₂ – h₁) + ½ r V v₂² – ½ r V v₁²

p₁ V + r V g h₁+ ½ r V v₁² = p₂ V + r V g h₂ + ½ r V v₂².

Dividindo por V, temos que

p₁ + r g h₁+ ½ r v₁² = p₂ + r g h₂ + ½ r v₂^{2
[1.5]}

p + r g h+ ½ r v²= constante. [1.6]

Esta é a equação de Bernoulli. Ela implica que, se um fluido estiver escoando em um estado de fluxo contínuo, então a pressão depende da velocidade do fluido. Quanto mais rápido o fluido estiver se movimentando, tanto menor será a pressão à mesma altura no fluido.

Aplicações da equação de Bernoulli

Aviões: A asa de um avião é mais curva na parte de cima. Isto faz com que o ar passe mais rápido na parte de cima do que na de baixo. De acordo com a equação de Bernoulli, a pressão do ar em cima da asa será menor do que na parte de baixo, criando uma força de empuxo que sustenta o avião no ar.

Vaporizadores: Uma bomba de ar faz com que o ar seja empurrado paralelamente ao extremo de um tubo que está imerso em um líquido. A pressão nesse ponto diminui, e a diferença de pressão com o outro extremo do tubo empurra o fluido para cima. O ar rápido também divide o fluido em pequenas gotas, que são empurradas para frente.

Chaminé: O movimento de ar do lado de fora de uma casa ajuda a criar uma diferença de pressão que expulsa o ar quente da lareira para cima, através da chaminé.

Medidores de velocidade de um fluido: Na figura (a) abaixo, se existir ar em movimento no interior do tubo, a pressão P é menor do que P₀, e aparecerá uma diferença na coluna de fluido do medidor. Conhecendo a densidade do fluido do medidor, a diferença de pressão, P-P₀ é determinada. Da equação de Bernoulli, a velocidade do fluido dentro do tubo, v, pode ser determinada.

O medidor da figura (b) acima pode determinar a diferença de velocidade entre dois pontos de um fluido pelo mesmo princípio.

Os medidores abaixo também são baseados no mesmo princípio. Todos esses tipos de medidores são conhecidos como medidores de Venturi.

Veja também:

Viscosidade, turbulência, e tensão superficial

Problemas com soluções

Direitos autorais: Carlos Bertulani (atualizada em 30/Agosto/99)