ensino

A primeira delas é o comprimento de onda. Com ele e com o valor da velocidade da luz “c” conseguimos encontrar a frequência da luz e portanto a energia de cada fóton, que é dada pelo produto da frequência pela constante de Planck.

A outra informação é um pouco mais sutil. O problema fornece a intensidade da luz. Intensidade representa a Potencia por unidade de área. ou, em outras palavras Energia transmitida pela onda / por unidade de tempo e de área.

Pois bem, como a energia é transmitida pelo fótons, sabendo quanto de energia cada fóton leva, e quanta energia está sendo transferida (por unidade de tempo e área) pela radiação (luz) basta dividir.

Mas é preciso tomar alguns cuidados. A potencia é dada em Watts, 1 Watt é igual a

1 Joule por segundo. Para fazer a conta do numero de fótons corretamente é necessário expressar a intensidade e a energia de cada fóton na mesma unidade de energia. Para isto será provavelmente necessário fazer alguma conversão de unidades.

Capítulo 2

Comentários gerais sobre o conteúdo

As seções 2.1 até 2.4 são relativamente simples. O capítulo 2 começa desenvolvendo a idéia de que para incorporar na descrição do comportamento de uma partícula, como um elétron, o comportamento ondulatório que se observa experimentalmente

devemos buscar algo parecido com o que usamos para descrever o comportamento de ondas. E o que há de bem particular no comportamento de ondas, que as diferencia das Partícula da Física Clássica, é que elas não são localizadas em um ponto

do espaço e sim distribuídas espacialmente e que também elas apresentam o fenómeno da interferência. A interferência significa que os "efeitos" de duas ondas não são exatamente a soma do efeito de cada uma. Para ser mais preciso nesta

afirmação, podemos pensar no caso de uma onde Eletromagnética. Ela carrega energia. E a energia é proporcional ao quadrado do campo elétrico. Pois bem, se temos uma onda com um campo elétrico E1 ela transporta uma energia proporcional ao

quadrado deste E1.

Se temos uma onda com campoE2, a energia transportada é proporcional

ao quadrado de E2. Mas se superpusermos as duas ondas, a energia será proporcional ao quadrado da soma. E o quadrado da soma de dois vetores

(note que o campo elétrico é um vetor) não é só a soma do quadrado de

cada um. Há um termo cruzado misturando os dois campos.

Portanto a energia transportada por uma onda que seja a superposição de outras

duas não é, em geral, igual à soma das energias transportadas por cada uma delas.

Este tipo de idéia é desenvolvida no capítulo 2 para introduzir a função de onda da

Mecânica Quântica e a equação de Schrodinger que a determina.

A seção 2.5 tem um pouco mais de complexidade mas acho que com um pouco

mais de esforço vocês conseguirão ler.

Dicas que podem ser úteis para lidar com os exercícios do capítulo 2 e aprender mais:

Uma boa ajuda com as propriedades da delta de Dirac e suas representações

é olhar no livro do Eugene Butkov de Métodos Matemáticos o capítulo sobre

Teoria das Distribuições. Este capítulo é um dos melhores lugares para se

entender este assunto.

A delta de Dirac é um objeto super importante na Física, com inúmeras aplicações.

Imaginem a seguinte situação na qual podemos ilustrar porque ela é necessária:

Queremos calcular a densidade de carga elétrica de vários sistemas.

Densidade de carga é a carga dividida pelo volume. Inicialmente olhamos para

uma situação em que temos uma carga Q distribuída uniformemente em um volume V.

A densidade é simplemente Q/V.

Mas, o que acontece se olharmos para uma carga puntiforme onde uma carga Q

está concentrada em um ponto e não distribuída em um volume???

A densidade seria infinita neste ponto e nula fora dele.

Porém sua integral de volume deveria ser igual à carga, portanto finita.

A delta de Dirac nos fornece uma forma de representar muito bem este tipo de

situação.

Uma delta de Dirac pertence a uma classe de objetos que chamamos de Distribuições. Este tipo de objeto não é como uma função. Ele não é definido a cada ponto do espaço.

O que é bem definido é resultado de sua integral.

Perguntas de alunos sobre o Cap. 2 e suas respostas (sem identificação de quem perguntou):

1- No final da página 60 do livro, início da página 61, o autor coloca que |Ψ(x,t)| é maior quando β(px) é aproximadamente constante nas proximidades de px = po, mas não entendi o porquê disso.

Como β aparece na exponencial imaginária, ao tirar o módulo disso, essa parcela não daria 1? Não entendi muito bem como β (px) pode ser significativo para a valor do módulo de Ψ(x,t).

Resposta: - Há uma sutileza muito interessante neste ponto. Entendo seu raciocínio, e ele está correto para o caso em que temos um numero complexo escrito na forma z = |z| exp( i a)

ou seja, um numero na forma do produto de seu

módulo multiplicado pela exponencial de um numero imaginário (forma de Euler).

Neste caso, o módulo de z não depende da fase "a", ou seja, do fator que aparece na exponencial imaginária.

(Observação: exp() é a função exponencial ou seja o numero "e' elevado a "ia" )

A sutileza é que na equação 2.24 do livro, a função de onda não é escrita desta

mesma forma. Ela é escrita como uma Integral sobre a variável px de uma função

tem esta forma. Mas há uma integral. e uma integral é equivalente a uma soma

de (infinitos) termos, cada um com uma fase diferente.

Para entender melhor como a situação muda, vamos considerar

um caso mais simples onde eu tenha um numero complexo que é a soma de

dois outros, cada um deles com a forma de Euler:

z = |z1| exp( i a1) + |z2| exp( i a2)

neste caso, para calcularmos o módulo, calculamos o complexo conjugado:

z* = |z1| exp( - i a1) + |z2| exp(- i a2) (os sinais das exponenciais mudam!)

agora, o módulo ao quadrado fica:

z z* = ( |z1| exp( i a1) + |z2| exp( i a2) ) (|z1| exp( - i a1) + |z2| exp(- i a2)

=|z1| |z1| + |z2| |z2| + |z1| |z2| exp( i ( a2 -a1) + |z1| |z2| exp( i ( a1 -a2)

este resultado DEPENDE de a1 e a2. Ou seja quando um numero complexo é

escrito como a soma de dois numeros na forma de Euler, seu módulo depende

das fases dos dois. Melhor dizendo, depende da diferença entre as fases.

se as fases forem iguais elas somem do resultado.

Retornando á integral da eq. (2.24), como a integral é uma soma (de infinitos)

termos ela também depende da fase do integrando. Ou, melhor dizendo,

depende de como a fase varia. .... Daí a importância de analisar com cuidado a

variação da fase!

Agora, para concluir, as integrais dependem da fase e são integrais oscilatorias

tipo seno e cosseno, já que z = |z| exp( i a) - z = |z| ( cos( a ) + sen( a) ) e

o valor médio destas funções é zero, então se elas oscilarem mais rápido

do que a função phi (px) que está com elas na integral a integral vai ficar

muito pequena (desprezível comparado a quando a oscilação é pequena).

2- Quando ele afirma, no final da página 61, que ,como E = ℏ*v(frequência) , o valor absoluto da frequência não tem significado físico no caso quântico, isso é porque estamos lidando apenas

com o momento para fazermos cálculos da energia dos pacotes?

Resposta:

O que ele quis dizer é que como a energia da partícula, cuja descrição é

dada pela função de onda que estamos analisando, é definida a menos de uma

constante, a frequência associada a ela também seria definida a menos de uma

já que a frequência é proporcional á energia.

Uma observação. Não gosto muito deste comentário do livro. Porque esta frase do livro só vale para partículas com massa. Para um fóton (que não tem massa de repouso) a frequência tem

significado absoluto. Caso contrário a explicação do efeito fotoelétrico estaria furada. Um fóton tem que ser descrito usando relatividade e aí a energia passa a ter significado absoluto.

A frase do livro não está errada e a mecânica quântica da qual ele trata é não relativística, porém é importante saber que para partículas sem massa, como o fóton, isto não é verdade.

3- Na página 62, ele diz que, como Φ(px) é desprezível em todos os pontos menos no intervalo (px - Δpx, px + Δpx), nós podemos desprezar o terceiro termo na (2.35) sendo t pequeno o

suficiente para que a (2.36) seja verdade. Não entendi muito bem o motivo de podermos desprezarmos esse terceiro termo e nem de onde veio essa (2.36).

Resposta:

A integral que estamos avaliando é a da equação (2.23) . Com discutido

na parte da sua primeira pergunta, a variação da fase é muito importante.

E, como discutido no livro, se ela varia muito a integral fica desprezível,

a equação (2.35) vem de colocar na expressão da energia (2.33)

px = p0 + (px - p0)

como a eq. (2.23) tem um fator Exp( - i E(px) t ) usando a eq. (2.35)

vemos que teremos um termo

Exp( - i [ ( px - p0 )( px - p0 ) /2m h ] t ]

(o h aqui é cortado)

este fator esta multiplicando, na integral (2.23) a função Phi(px)

(letra grega ) que representa a funlçao de onda no espaço de

momento. Se esta fase variar muito pouco, pelo raciocínio

da sua pergunta (1) a fase não vai importar para o módulo

da função de onda. E qual a maior variação que esta fase pode ter?

A maior variação é quando (px - p0 for o maioor possível.

mas quando px é muito diferente de p0 a função Phi fica

desprezivel, então a integral não dá contribuição.

a maior variação da fase que ainda dá contribuição

para a integral é quando a função Phi ainda não é muito pequena.

e nossa hipótese é que a função Phi é zero fora do intervalo

(p0 - Delta p ) , p0 + Delta p ) como esplicado acima da eq. (2.24).

Logo a maior osciulação é quando px = p0 +/- Delta p

e neste caso a expressão que escrevi algumas linhas acima fica:

Exp( - i [ ( px - p0 )( px - p0 ) /2m h ] t ] = Exp( - i [ ( Delta p )( Delta p ) /2m h ] t ]

Pois bem, a eq. 2.36 é exatamente esta fase. e ela é que é relevante

para sabermos se podemos jogar fora o último termo da equação 2.35

já que seria a maior variação de fase possível. se ela for pequena, o termo

pode ser desprezado.

4) Na equação(2.54) ele conclui que essa equação nos permite dizer que o centro do pacote se move com velocidade vg(velocidade de grupo), mas não entendo muito bem o porquê disso. Consigo perceber

como ela surge nessa equação, mas não entendi muito bem como identificar que essa será a velocidade com que o pacote se move.

Resposta:

Na equação (2.54) a probabilidade de encontrar a partícula em um certo ponto x em um instante t depende das variáveis x e t de uma maneira muito especial. esta varíáveis aparecem na combinação

( x - vg t ) . Ou seja podemos dizer que a equação (2.54) apresenta a probabilidade como uma função de ( x - vg t ) ou seja, algo com a forma de uma função f ( x - vg t) .

Se vocês se lembrarem de quando estudaram ondas em Física 2, vão perceber que uma função que depende de ( x - vg t ) representa uma função que

se move no sentido positivo da coordenada x quando o tempo passa.

Na física 2 geralmente também mostramos que uma função com a forma g( x + v t ) representa uma função "andando" no sentido contrário.

E o importante é que isto vale independente da forma das funções f ou g. Só depende da dependência com x e t.

A eq. (2.54) não tem exatamente esta forma aparece um termos com t no denominador, mas este fator representa somente um alargamento da

função à medida que o tempo passa.

5) A parte do experimento das duas fendas me deixou bem confusa. Não entendi muito bem a relação que ele estabelece entre lambda e d/A nem a parte matemática da direção do movimento da partícula também ser incerta.

Resposta:

Nesta seção se considera a possibilidade de fazer uma observação de um elétron que é emitido pela fonte S, em um experimento de fenda dupla, para saber por qual fenda ele passou.

A possibilidade analisada é tentar "ver" o elétron "iluminando" , ou seja, jogando luz na direção de uma das fendas para ver a passagem dele pela fenda, caso ele passe por lá.

O microscópio, mencionado neste item, é exatamente um instrumento que faz isto. Ele joga luz, ou seja, joga (pelo menos um) fóton na direção da fenda.

A luz é simplesmente radiação eletromagnética. No caso de um fóton, ele corresponde a um tipo de radiação que chamamos de monocromática (= uma cor apenas = uma frequência e um comprimento de onda apenas. )

Neste ponto precisamos usar algum conhecimento de Eletromagnetismo para entender como a radiação Eletromagnética interage com objetos e, portanto, como ela serve para "ver" algo.

Quando uma onde Eletromagnética monocromática (ou seja, que só tem um comprimento de onda) interage com um objeto, ela é muito mais "afetada" se o objeto for grande com relação ao comprimento de onda.

Neste ponto podemos fazer uma analogia com as ondas do mar. Imaginem em uma praia as ondas do mar chegando na areia e encontrando um pedra no meio do caminho (Poético RsRs) , Se a onda for muito maior que a pedra

ela não vai se alterar praticamente nada, Mas se a pedra for enorme, como a Pedro do Arpoador, a onda vai mudar muito. O tamanho da onda do mar está relacionado ao seu comprimento de onda. Neste exemplo vemos como uma

onda do mar percebe muito mais um objeto grande, com relação a seu tamanho, do que um pequeno. Se usarmos ondas do mar para "procurar pedras" nosso processo só vai dar certo se usarmos ondas de comprimento de onda próximo

ao tamanho das pedras.

Voltando ao microscópio. Ele vai "ver" bem coisas de tamanhos da ordem do comprimento de onda da luz que ele usa (ou objetos maiores ainda, mas não os menores).

Por outro lado, sabemos que a luz interage com a matéria na forma corpuscular. Ou seja, através dos fótons. Então quando o microscópio joga luz em cima do elétron, se a luz interagir com o elétron, pelo menos um fóton será trocado

com o elétron. E quando o elétron recebe um fóton ele recebe o momento linear do fóton. Aí ele muda a direção do seu movimento, por causa deste "empurrão" que o fóton lhe aplica. Isto faz com que o momento linear do elétron fique com uma incerteza.

Espero que esta explicação ajude a entender o resto deste item.

6) Na parte da relação de incerteza para tempo e energia também surgiu uma dúvida. Não entendi a origem da relação delta(ômega).delta(t) >~ 1 .

Resposta:

Se temos um par de funções: F(t) e G(w) onde G é a transformada de Fourier de F e F é a anti-transformada de Fourier, ou transformada de Fourier inversa , de G, há uma propriedade intressante relacionando F e G.

Esta propriedade não depende de estarmos falando de Mecânica Quântica. É uma propriedade geral da transformada de Fourier.

Propriedade: se F é uma função localizada em uma região de largura Delta t, ou seja, é uma função que só é relevante dentro de uma região de largura Delta t, na sua variável t , então a função G será localizada em uma região de

largura Delta w de tamanho inverso. Em outras palavras, uma função localizada em um intervalo pequeno tem uma transformada de Fourier localizada em um intervalo grande, e vice versa.

Voltando à Mecânica Quântica, Se uma partícula só "existe" (ou tem sua observação levando a resultados não desprezíveis) em um certo intervalo de tempo, ela é representada por uma função de onda de largura Delta t,

e sua transformada de Fourier, pela propriedade discutida, terá largura inversamente proporcional. daí segue o resto ... .

7) Quanto a lista de exercícios, tive muita dificuldade no problema 2.1 letra c e não consegui fazer.

A função de onda Psi tem um fator exponencial imaginário, que corresponde a um fator oscilante com x e outro fator exponencial negativo que cai com o módulo de x.

Mas se fizermos uma observação para procurar a partícula em uma certa posição x, a probabilidade de encontrar a partícula será proporcional ao módulo ao quadrado da função de onda. Calculando o módulo ao quadrado de Psi

vemos que a exponencial imaginária some. Fica só a real negativa. Ou seja, a função não oscila, só cai. É bom fazer um gráfico para ver a forma. Podemos definir como largura um valor onde ela caiu, digamos que à metade.Não à uma única definição.

E não faz diferença. O intervalo onde cai por um certo fator será sempre proporcional a Delta x.

Depois é só fazer o mesmo para a função de onda no espaço de momento calculada no item b.

8) Problema 2.7. Dicas para faze-lo: veja o texto no link aqui.

9) Texto explicando a forma de escrever a Delta de Dirac como integral de exponenciais aqui.

10) Pregunta:

“Tenho uma dúvida em relação a conservação de probabiblidade da função de onda. Na sua aula, o senhor escreve uma equação análoga a equação de continuidade e para mostrar que a probabilidade total não depende do tempo, integra a expressão em um volume, que por fim será o volume total do espaço. Usando o teorema Gauss você consegue associar a integral em um volume com uma integral de supercíe na borda desse volume e reconhece que o valor dessa integral será nulo e consequentemente a probabilidade total não depende do tempo. A minha pergunta é: qual o análogo disso para o caso da função de onda de N partículas, que dependerá de 3N coordenadas? E no caso onde temos ainda a coordenada de spin?”

Resposta:

Na Mecânica Quântica não relativística, que estamos

estudando, não existe criação ou aniquilação de partículas.

Portanto a equação de continuidade, que representa

o fato da partícula "não poder desaparecer" , vale para cada

uma delas. ou seja, para N partículas teríamos uma equação

de continuidade valendo para cada uma delas, já que a probabilidade

de encontrar cada uma em "algum lugar" se mantém no tempo.

(Sistemas de Partículas é um tema muito interessante.

Há sistemas que se comportam de forma diferente. Para partículas

indistinguíveis chamadas de bósons o sistema é simétrico pela troca

de duas delas. Já para Férmions ele é antissimétrico. No livro do

Merzbacher isto é discutido. Ensinamos isto na Mecânica Quântica 2

da Pós Graduação. )

Mas, uma coisa super interessante é que na formulação relativística

da Mecânica Quântica isto muda. partículas podem ser criadas ou

aniquiladas. Exemplo: um para elétron pósitron pode ser criado por um

fóton (virtual) ou aniquilado em um. E ... a natureza é assim.