Resumo: Os comportamentos dinâmicos não triviais mais simples em mecânica são descritos por Hamiltonianas quadráticas. Por gerarem equações de movimento lineares, sua dinâmica é integrável e as equações de movimento são descritas por transformações simpléticas afins. Um pouco de geometria simplética, nada que ultrapasse um curso de mecânica analÃtica, mostra que a dinâmica gerada por uma tal Hamiltoniana é caracterizada apenas por quatro padrões: ElÃptico, Parabólico, Hiperbólico e Loxodrômico.
Como reconhecido por Poincaré em seu famoso trabalho sobre a sistema de três corpos, além da integrabilidade, o que torna interessante este conjunto de Hamiltonianas é o fato de que elas constituem aproximações que reduzem a complexidade de um sistema Hamiltoniano qualquer, em geral não-linear, ao estudo das quatro famÃlias mencionadas. Se não bastasse, a quantização de Hamiltonianas quadráticas é trivial e o comportamento dos sistemas quantizados é idêntico ao clássico: a estrutura simplética do espaço de fase é reproduzida para os operadores de posição e momento.
No seminário apresentarei os conceitos e propriedades descritos acima e terminarei por discutir o teorema de Williamson, uma ferramenta matemática útil para descrever os sistemas elÃpticos, fornecendo exemplos em mecânica clássica, quântica e estatÃstica. Este teorema fornece uma receita para a diagonalização de tais Hamiltonianas, reduzindo a dinâmica ao estudo de osciladores harmônicos.
