Resumo:

O problema de Kepler consiste no estudo do movimento de uma partícula sob ação de uma força central, cujo módulo varia com a lei do inverso do quadrado da distância. Newton foi o primeiro a resolver esse problema, o chamado problema direto, em sua famosa obra “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” de 1687. A partir das leis de Kepler sobre o movimento planetário, Newton percebe que as órbitas devem obedecer uma lei do tipo inverso do quadrado e propõe a lei da gravitação universal. Em 1710, Jakob Hermann resolve o chamado problema inverso, no qual, dada uma força proporcional ao inverso do quadrado da distância, ele deduz que as órbitas devem descrever cônicas.

Neste seminário, vamos apresentar um breve histórico sobre o problema de Kepler e discutir o chamado problema de Kepler perturbado. Neste problema, consideramos uma perturbação adicional na expressão da força que atua sobre a partícula, além da força de Kepler. A partir de diferentes perturbações, determinamos as novas órbitas. Para tal, fazemos um cálculo perturbativo usando o vetor de Laplace-Runge-Lenz, uma constante de movimento no problema não-perturbado. Este vetor apresenta várias características úteis que nos permitem descobrir as novas órbitas de forma relativamente simples.